Сын железнодорожного служащего. Получил юридическое образование во Франкфуртском и Мюнхенском университетах. В 1919—1922 годах — руководитель молодежной группы Немецкой национально-народной партии в Висбадене. За выступления против французов в 1923 году дважды арестовывался. В декабре 1922 года вступил в НСДАП (повторно 1 декабря 1930 года; билет № 378 144). В 1923—1924 годах работал в банке. С 9 декабря 1930 года занимал должность окружного судьи в Рюдехсхайме, с 9 марта 1931 года — в земельном суде в Висбадене. В феврале 1932 года был обвинен в оказании содействия НСДАП и 6 февраля уволен с государственной службы, работал адвокатом в Штеттине. 15 марта 1932 года вступил в СА. В 1932 году руководил созданием отрядов СС и СА в Померании.

После прихода НСДАП к власти с 12 марта 1933 года — член Померанского провинциального ландтага, с 4 апреля по 15 мая 1933 года исполнял обязанности 1-го бургомистра Штеттина. Затем переведен в Прусское министерство науки, искусств и народного образования, где 15 мая 1933 года получил ранг министериальдиректора и был назначен начальником школьного отдела, с 30 июня 1933 года — статс-секретарь. С 15 сентября 1933 года прусский государственный советник. 13 сентября 1936 года вступил в СС (билет № 280 042).

С 3 июля 1934 года — статс-секретарь Имперского министерства науки, искусств и народного образования, созданного на базе прусского министерства. Почти сразу же вступил в конфликт с рейхсминистром Бернгардом Рустом и его ближайшим окружением и 14 ноября 1934 года был уволен в отставку. С 1 февраля 1935 года — президент Верхнего земельного суда в Дармштадте. 11 марта 1935 года назначен начальником управления по делам конституции и законодательства Имперского министерства внутренних дел (возглавлял его до мая 1945 года). Считался одним из лучших юристов рейха. Фанатичный расист, один из авторов официальных комментариев к антиеврейским Нюрнбергским законам 1935 года. С 30 июня 1936 года одновременно был статс-секретарём по вопросам администрации и права Имперского и Прусского министерства внутренних дел, руководитель группы юристов административного права в Национал-социалистическом союзе юристов. В марте 1936 года также стал председателем «Имперского установления по защите германской крови» («Reichsausschusses zum Schutze des deutschen Blutes»), 2 сентября 1936 года — председателем секции административного права Академии германского права, 1 апреля 1937 года — президентом Германской секции Международного института административного права в Брюсселе. Сфера компетенций Штуккарта в Имперском МВД постоянно расширялась, и к 1943 году в его подчинении находились ключевые вопросы деятельности министерства: гражданская оборона, администрация, кадры, коммунальное хозяйство. Ведал вопросами юрисдикции правительственных учреждений, всеми вопросами гражданской службы, гражданства, расовой принадлежности.

В марте 1938 года Штуккарт составил проект документа, закреплявшего аншлюс Австрии (подписан 13 марта 1938 года), а затем документы о включении в состав рейха Судетской области, Мемеля, Данцига и т. д. С 5 сентября 1939 года по 20 августа 1943 года — уполномоченный и начальник штаба генерального уполномоченного по имперской администрации Вильгельма Фрика, одновременно с 7 декабря 1939 года — член Генерального совета по 4 летнему плану. С 30 января 1942 в системе СС Штуккарт числился в составе Главного управления имперской безопасности (РСХА).

Штуккарт представлял Имперское МВД на Ванзейском совещании 20 января 1942 года, где обсуждались мероприятия по «окончательному решению еврейского вопроса». На совещании резко выступил против депортации евреев-метисов и предложил стерилизовать всех неарийцев (как гарантия против смешанных браков). 25 августа 1943 года Штуккарт был назначен представителем рейхсминистра внутренних дел Генриха Гиммлера по вопросам имперской администрации.

После смерти А. Гитлера в кабинете его преемника Карла Деница с 3 мая 1945 года приступил к исполнению обязанностей рейхсминистра внутренних дел, а также рейхсминистра науки, воспитания и народного образования. Вместе с другими членами правительства арестован 23 мая 1945 года.

После войны Штуккарт был привлечён к суду Американского военного трибунала по делу Вильгельмштрассе и 11 апреля 1949 года приговорен к 3 годам 10 месяцам и 20 дням тюремного заключения. В январе 1951 года освобожден, жил в Западном Берлине.

В молодой Федеративной Республике Германия Штуккарт быстро стал делать карьеру. Так, он стал управляющим делами Института содействия развитию экономики Нижней Саксонии. В 1950 году во время очередной «денацификации» Штуккарт был квалифицирован как «попутчик» нацистов. В 1952 году он был приговорен судебной палатой Западного Берлина к штрафу в размере 50 тыс. марок. Помимо прочего Штуккарт занялся активной политической деятельностью и 23 октября 1951 года стал председателем земельного правления «Союза лишенных родины и прав» («Bund der Heimatvertriebenen und Entrechteten») Нижней Саксонии. В 1952 году Штуккарт стал членом запрещённой неонацистской Социалистической имперской партии. Погиб в автомобильной катастрофе за день до своего 51-летия.