Вельтц изучал медицину в университетах Йены, Киля, Кёнигсберга и Мюнхена. После успешного окончания медицинского образования защитил в 1916 году диссертацию «Этиология фибром передней брюшной стенки». Во время первой мировой войны находился в санитарной службе, вначале в качестве младшего врача. С 1919 по 1936 год работает в одном из госпиталей Мюнхена, вначале в качестве младшего врача (нем. Assistenzarzt), а затем радиолога. С 1936 года доцент Мюнхенского университета и руководитель института воздушной медицины, созданного под эгидой люфтваффе. В 1937 году становится председателем немецкого общества рентгенологов. В 1937 году вступает в НСДАП и в августе 1939 года становится одним из высших медицинских чинов (нем. Oberfeldarzt) медицинской службы люфтваффе.

По заданию люфтваффе изучалась ситуация, когда пилот подбитого противником самолёта катапультировался с большой высоты и попадал в ледяную морскую воду. В ходе проведения эксперимента в концлагере Дахау была смонтирована камера в которой можно было смоделировать свободное падение с высоты 21 000 метров. Из 200 подопытных 70-80 погибли. Исследование влияния переохлаждения на организм изучалось путём погружения тела заключённого в ледяную воду.

Суду не удалось доказать причастность Вельтца, Руффа и Ромберга к этим опытам, в связи с чем они были оправданы.

После освобождения в 1952 году, Вельтц стал профессором рентгенфизиологии Мюнхенского университета.