В 1912—1919 гг. служил офицером санитарной службы в военно-морских силах Германской империи. В этой должности занимался организацией медицинской помощи на подводных лодках, одновременно работая в ведомственном госпитале в Вильгельмсхафене. За свои заслуги во время Первой мировой войны награждён Железным крестом первого и второго класса. С 1919 по 1934 гг. — практикующий врач в своём родном городке Прец.

7 июля 1926 года вступил в НСДАП (партийный билет № 39 913), а 5 ноября 1933 года — в СС (207 954). В 1934 году в качестве офицера запаса ВМФ, некоторое время служил в министерстве рейхсвера референтом по делам мобилизации в военно-морском медицинском отделе. Затем в течение года проработал в качестве врача-эксперта в союзе больничных касс Большого Берлина.

1 сентября 1936 г. был назначен главным врачом госпиталя СС «Берлин» (нем. "SS-Lazarett Berlin") в Лихтерфельде, предназначенного для лечения военнослужащих подразделений Частей усиления СС и отрядов «Мёртвая голова».

С 1 февраля 1937 года стал преемником Фридриха Карла Дермитцеля — руководителя медико-санитарной службы отрядов «Мёртвая голова». Таким образом, он занимал должность старшего врача при командире отрядов «Мёртвая голова» и инспекторе концентрационных лагерей Теодоре Эйке.

На этой должности, кроме медперсонала обслуживающего охрану, ему также подчинялись врачи концлагерей, которые обязаны были подавать ежемесячный отчёт о состоянии здоровья заключённых. Без его санкции не мог производиться ни один медицинский опыт над заключенными концлагерей. Во время работы Генцкена в концлагерях стала применяться принудительная стерилизация, как мера по исполнению закона «О предотвращении рождения потомства с наследственными заболеваниями». Так, по разрешению Генцкена, вюрцбургский психиатр Вернер Хейде начал проводить опыты по проведению стерилизации и кастрации заключённых.

С осени 1939 по весну 1940 г. занимался созданием медико-санитарной службы 3-й дивизии СС «Тотенкопф». С апреля 1940 года и до конца второй мировой войны занимал пост начальника медико-санитарной службы войск СС. Также он был ответственен за проведение медицинских экспериментов на людях в концлагерях.

На Нюрнбергском процессе над врачами был одним из обвиняемых. Признан виновным в военных преступлениях, преступлениях против человечности и участии в преступных организациях. Приговорён к пожизненному заключению. 31 января 1951 года срок был снижен до 20 лет. Досрочно освобождён 17 апреля 1954 года.